Analytic Geometry Assignment No.3

1. 求准线为 $\left\{\begin{matrix} z=& \sqrt{x^2+y^2} \\x=&-1 \end{matrix}\right.$ , 母线为 $\R v$ 的柱面方程, 其中 $v=(1,1,1)$ .

$\Gamma\ni Q=P+\R v,P=(-1,k,\sqrt{1+k^2})\in l:\left\{\begin{matrix} z=& \sqrt{x^2+y^2} \\x=&-1 \end{matrix}\right.$ . 所以 $Q=(t-1,t+k,t+\sqrt{1+k^2}),t,k\in\R$ . 因为 $x=t-1,y=t+k,z=t+\sqrt{1+k^2}$ , 消去 $t,k$ 有 $\Gamma:x+1+\sqrt{1+(y-x-1)^2}-z=0$

2. 求准线为 $\left\{\begin{matrix} z&=& \sqrt{x^2+y^2} \\z-y&=&1 \end{matrix}\right.$ , 顶点为 $V=(1,0,0)$ 的锥面方程.

$\Gamma\ni Q=V+\R^+n,V+n=(1+n_x,n_y,n_z)\in\gamma:\left\{\begin{matrix} z&=& \sqrt{x^2+y^2} \\z-y&=&1 \end{matrix}\right.$ . 对 $V+n$ 有 $\left\{\begin{matrix} n_z&=& \sqrt{(1+n_x)^2+n_y^2} \\n_z-n_y&=&1 \end{matrix}\right.$ , 因此 $n=(t,\frac{t^2}{2}+t,\frac{t^2}{2}+t+1)$ . 代入 $Q=(x,y,z)=(1+kt,\frac{kt^2}{2}+kt,\frac{kt^2}{2}+kt+k),k\in\R^+,t\in\R$ , 消去 $k,t$ 有 $\Gamma:2(z-y)(y-x+1)=(x-1)^2,y\ge x-1$ .

3. 曲面由方程 $x^3+y^3+3xz^2+7xyz = 0$ 确定. 判断曲面类型.

注意到方程齐次, 因此曲面为一个顶点在原点的锥面.

4. 求母线为 $\left\{\begin{matrix} y=& \cos x,&0\leq x\leq2\pi \\z=&0 \end{matrix}\right.$ , 旋转轴为 $\R v$ 的旋转面的方程, 其中 $v=(1,1,1)$ .

$\Gamma\ni Q=(x,y,z)$ , $\operatorname{Proj}_{\R v}x=\frac{x\cdot v}{|v|^2}v$ , 考虑参量 $\gamma\ni P=(t,\cos t,0)$ 满足 $M=\operatorname{Proj}_{\R v}P=\operatorname{Proj}_{\R v}Q$ ,则有 $|Q-M|=|P-M|$ . 联立方程有 $\left\{\begin{matrix} Q\cdot v&=&P\cdot V\\|Q-M|^2&=&|P-M|^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x+y+z&=&t+\cos t\\ \sum_{i=x,y,z}(i-\frac{x+y+z}{3})^2&=&\sum_{i=t,\cos t,0}(i-\frac{t+\cos t}{3}v)^2 \end{matrix}\right.$ . 由反函数定理保证消去 $t$ 存在方程 $F(x,y,z)=0$ 为旋转面的方程.

5. 求母线为 $\left\{\begin{matrix} (x-4)^2+y^2&=1\\z&=0 \end{matrix}\right.$ , 轴为 $\R v$ 的旋转面的方程, 这里的 $v=(1,1,0)$ .

$\Gamma\ni Q=(x,y,z)$ , 考虑参量 $\gamma\ni P=(4+\cos\theta,\sin\theta,0)$ 满足 $M=\operatorname{Proj}_{\R v}P=\operatorname{Proj}_{\R v}Q$ ,则有 $|Q-M|=|P-M|$ . 联立方程有 $\left\{\begin{matrix} Q\cdot v&=&P\cdot V\\|Q-M|^2&=&|P-M|^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x+y&=&4+\cos\theta+\sin\theta\\ 2(\frac{x-y}{2})^2+z^2&=&2(\frac{4+\cos\theta-\sin\theta}{2})^2 \end{matrix}\right.$ . 消去 $\theta$ 化简得 $\Gamma:(x^2+y^2+z^2-4x-4y-1)^2+16(x+y-4)^2-32=0$ .

6. 从二次曲面的标准方程出发, 讨论二次曲面的所有可能类型, 包括非退化的与退化的.

二次曲面的标准方程为 $ax^2+by^2+cz^2+2dx+2ey+2fz+g=0$ . 考虑坐标轴的对称性, 在讨论退化类型时仅讨论 $\{x\}$ , $\{x,y\}$ , $\{x,y,z\}$ 变量组的差异情况, 其他情况可通过对坐标轴的名称替换得到:
1. 存在二次项缺失:
1.1. 恰存在一个二次项缺失: 则曲面方程变为 $by^2+cz^2+2dx+2ey+2fz+g=0$ , 通过做平移变换 $y+\frac{e}{b}\mapsto y$ , 得到 $by^2+cz^2+2dx+2fz+g'=0$ .
1.1.1. 退化二次项对应的一次项缺失: 则曲面方程变为 $by^2+cz^2+2fz+g'=0$ , 通过做平移变换 $z+\frac{f}{c}\mapsto z$ 得到 $by^2+cz^2+g''=0$ .
1.1.1.1. $\frac{c}{b}>0,\frac{g''}{b}<0$ : 此时曲面为椭圆柱面.
1.1.1.2. $\frac{c}{b}>0,\frac{g''}{b}>0$ : 此时曲面退化为空集.
1.1.1.3. $\frac{c}{b}>0,\frac{g''}{b}=0$ : 此时曲面退化为一条直线.
1.1.1.4. $\frac{c}{b}<0,g''\neq0$ : 此时曲面为双曲柱面.
1.1.1.5. $\frac{c}{b}<0,g''=0$ : 此时曲面为两个平面.
1.1.2. 退化二次项对应的一次项存在: 通过做平移变换 $x+\frac{g-\frac{e^2}{b}-\frac{f^2}{c}}{2d}\mapsto x,y+\frac{e}{b}\mapsto y,z+\frac{f}{c}\mapsto z$ 得到 $by^2+cz^2+2dx=0$ .
1.1.2.1. $\frac{c}{b}>0$ : 此时曲面为椭圆型抛物面.
1.1.2.2. $\frac{c}{b}<0$ : 此时曲面为双曲型抛物面.
1.2. 恰存在两个二次项缺失: 则曲面方程变为 $cz^2+2dx+2ey+2fz+g=0$ , 通过对 $z$ 做平移变换可得到 $cz^2+2dx+2ey+g'=0$ .
1.2.1. 退化二次项对应的一次项都缺失: 则曲面方程变为 $cz^2+g'=0$ .
1.2.1.1. $\frac{g'}{c}>0$ : 曲面退化为空集.
1.2.1.2. $g'=0$ : 曲面退化为一个平面.
1.2.1.3. $\frac{g'}{c}<0$ : 曲面为两个平面.
1.2.2. 存在退化二次项对应的一次项存在: 通过对 $x,y$ 做旋转变换和平移变换, 则曲面方程变为 $cz^2+2ey=0$ ,此时曲面为抛物柱面
1.3. 恰存在三个二次项缺失: 则曲面方程变为 $2dx+2ey+2fz+g=0$ .
1.3.1. 一次项全部缺失: 则曲面方程变为 $g=0$ .
1.3.1.1. $g=0$ : 曲面为全体点集.
1.3.1.2. $g\neq0$ : 曲面退化为空集.
1.3.2. 存在一次项不缺失: 则曲面退化为一个平面.
2. 不存在二次项退化, 则通过平移变换可得到 $ax^2+by^2+cz^2+g'=0$ .
2.1. $a,b,c,g'$ 同号: 此时曲面退化为空集.
2.2. $a,b,c$ 同号, $g'$ 与 $a,b,c$ 异号: 此时曲面为椭球面.
2.1. $a,b,c$ 不全同号, 且 $g'$ 与两个同号的异号: 此时曲面为单叶双曲面.
2.2. $a,b,c$ 不全同号, 且 $g'$ 与两个同号的同号: 此时曲面为双叶双曲面.

7. 证明定理 4.12. (曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ $(abc\neq0)$ 可以由直线 $\left\{\begin{matrix} z=& \frac{c}{b}y \\x=&a \end{matrix}\right.$ 或 $\left\{\begin{matrix} z=& -\frac{c}{b}y\\x=&a \end{matrix}\right.$ 绕 $z$ -轴沿准线 $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1 \\z&=0 \end{matrix}\right.$ 旋转生成.)

由对称性, 不妨考虑 $z=\frac{c}{b}y$ . 对准线考虑做伸缩变换 $x'=\frac{x}{a},y'=\frac{y}{b}$ 将沿准线旋转变为标准绕 $z$ -轴旋转. 以下坐标在 $(x',y',z)$ 坐标系下考虑.
$\Gamma\ni Q=(x',y',z),v=(0,0,1)$ , 考虑参量 $\gamma\ni P=(1,t,ct)$ 满足 $M=\operatorname{Proj}_{\R v}P=\operatorname{Proj}_{\R v}Q$ ,则有 $|Q-M|=|P-M|$ . 联立方程有 $\left\{\begin{matrix} Q\cdot v&=&P\cdot V\\|Q-M|^2&=&|P-M|^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} z&=&ct\\ x'^2+y^2&=&1^2+t^2 \end{matrix}\right.$ . 消去 $t$ 有 $x'^2+y'^2=1^2+\frac{z^2}{c^2}$ , 考虑将 $x',y'$ 变换回 $x,y$ , 有 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 即为所求.

8. 证明定理 4.14. (双曲抛物面由两族相交直线生成, 等价地, 曲面上的任何一点都是两族直线的交点.)

不妨考虑 $\Gamma:\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ . 将 $\Gamma$ 改写为 $(\frac{x}{a}-\frac{y}{b})(\frac{x}{a}+\frac{y}{b})=1\cdot\frac{z}{c}$ , 因此 $\frac{\frac{x}{a}-\frac{y}{b}}{\frac{z}{c}}=\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{u}{w}$ 和 $\frac{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}{\frac{z}{c}}=\frac{1}{\frac{x}{a}-\frac{y}{b}}=\frac{v}{t}$ 给出两族相交直线, 且能唯一确定所有曲面上点.

9. 证明定理 4.15. (单叶双曲面的任意两条异族直母线都是共面的; 双曲抛物面上的任意两条异族直母线必然相交.)

不妨考虑 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 以及直母线族 $\frac{1-\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}=\frac{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}{1+\frac{y}{b}}=\frac{u}{w}$ 和 $\frac{1+\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}=\frac{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}{1-\frac{y}{b}}=\frac{v}{t}$ . 考虑增广行列式 $\begin{vmatrix}\frac{u}{a}&\frac{w}{b}&-\frac{u}{c}&-w\\\frac{w}{a}&-\frac{u}{b}&\frac{w}{c}&-u\\\frac{v}{a}&-\frac{t}{b}&-\frac{v}{c}&-t\\\frac{t}{a}&\frac{v}{b}&\frac{t}{c}&-v\end{vmatrix}=0$ , 故共面.
不妨考虑 $\Gamma:\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 以及直母线族 $\frac{\frac{x}{a}-\frac{y}{b}}{\frac{z}{c}}=\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{u}{w}$ 和 $\frac{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}{\frac{z}{c}}=\frac{1}{\frac{x}{a}-\frac{y}{b}}=\frac{v}{t}$ . 考虑增广行列式 $\begin{vmatrix}\frac{w}{a}&-\frac{w}{b}&-\frac{u}{c}&0\\\frac{u}{a}&\frac{u}{b}&0&-w\\\frac{t}{a}&\frac{t}{b}&-\frac{v}{c}&0\\\frac{v}{a}&-\frac{v}{b}&0&-t\end{vmatrix}=0$ , 故共面, 且因异族因此非平行, 则必然相交.

10. 证明定理 4.16. (单叶双曲面的任意两条同族直母线都是异面的; 双曲抛物面上的任意两条同族直母线必然平行于同一个平面.)

不妨考虑 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 以及直母线族 $\frac{1-\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}=\frac{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}{1+\frac{y}{b}}=\frac{u}{w}$ 和 $\frac{1-\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}=\frac{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}{1+\frac{y}{b}}=\frac{v}{t}$ . 考虑增广行列式 $\begin{vmatrix}\frac{u}{a}&\frac{w}{b}&-\frac{u}{c}&-w\\\frac{w}{a}&-\frac{u}{b}&\frac{w}{c}&-u\\\frac{v}{a}&\frac{t}{b}&-\frac{v}{c}&-t\\\frac{t}{a}&-\frac{v}{b}&\frac{t}{c}&-u\end{vmatrix}=-\frac{1}{abc}(ut-vw)^2\neq0$ , 故异面.
不妨考虑 $\Gamma:\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 以及直母线族 $\frac{\frac{x}{a}-\frac{y}{b}}{\frac{z}{c}}=\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{u}{w}$ 和 $\frac{\frac{x}{a}-\frac{y}{b}}{\frac{z}{c}}=\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{v}{t}$ . 考虑增广行列式 $\begin{vmatrix}\frac{w}{a}&-\frac{w}{b}&-\frac{u}{c}&0\\\frac{u}{a}&\frac{u}{b}&0&-w\\\frac{t}{a}&-\frac{t}{b}&-\frac{v}{c}&0\\\frac{v}{a}&\frac{v}{b}&0&-t\end{vmatrix}=\frac{2}{abc}(wv-ut)^2\neq0$ , 故异面, 因此平行于同一平面.

11. 讨论非柱面, 非锥面, 也非二次曲面的直纹面存在的可能性, 如果存在, 请构造一个这样的曲面; 如果不存在, 请证明之.

注意到 $\Gamma_1:\R(0,0,1)+(\cos\theta,\sin\theta,0)$ , 即 $x^2+y^2=1$ 为一柱面; $\Gamma_2:\R(\cos\theta,\sin\theta,1)$ , 即 $x^2+y^2=z^2$ 为一锥面. 取 $\Gamma=\Gamma_1\cup\Gamma_2$ , 考虑 $\Gamma$ 可由 $\{\R(0,0,1)+(\cos\theta,\sin\theta,0)\}\cup\{\R(\cos\theta,\sin\theta,1)\}$ 这族直线构成, 因此 $\Gamma$ 为一直纹面. 又因 $\Gamma_1$ 是柱面不是锥面和二次曲面, $\Gamma_2$ 是锥面不是柱面和二次曲面, 因此 $\Gamma$ 同时非柱面, 锥面, 二次曲面. 故 $\Gamma$ 即为非柱面, 非锥面, 也非二次曲面的直纹面.