1. 求下列曲线的渐进方向.

(1) x^2+2xy+y^2+3x+y=0.

  • x^2+2xy+y^2=0\Rightarrow(x,y)=\lambda(1,-1). 因此渐进方向为(1,-1).

(2) 3x^2+4xy+2y^2-6x-2y+5=0.

  • 3x^2+4xy+2y^2=0\Rightarrow4^2-4\cdot3\cdot2<0. 因此没有渐进方向.

(3) 2xy-4x-2y+3=0.

  • 2xy=0\Rightarrow(x,y)=\lambda(1,0),\lambda(0,1). 因此渐进方向为(1,0), (0,1).

2. 曲线x^2−4xy+4y^2+2x−2y+1=0是有心曲线, 无心曲线, 或者线心曲线?

  • |A|=1\cdot4-2^2=0,A\neq0,\operatorname{Rank}(A)=1\neq\operatorname{Rank}(\begin{bmatrix}1&-2&1\\-2 &4&-1\end{bmatrix})=2. 因此是无心曲线.

3. 求曲线2x^2+5xy+2y^2−6x−3y+4=0的中心.

  • x=-A^{-1}b=-\begin{bmatrix}2&\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}&2\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}-3\\-\frac{3}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}. 因此中心为(-1,2).

4. 求曲线6x^2−xy−y^2+3x+y−1=0的渐近线.

  • 6x^2-xy-y^2=0\Rightarrow(x,y)=\lambda(1,2),\lambda(1,-3), -A^{-1}b=-\begin{bmatrix}6&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\end{bmatrix}. 因此渐近线为l_1:\vec x=\lambda(1,2)+(-\frac{1}{5},\frac{3}{5}),l_2:\vec x=\lambda(1,-3)+(-\frac{1}{5},\frac{3}{5}),\lambda\in\R.

5. 求过点(1,1), (2,1), (−1,−2)且以x+y−1=0为渐近线的二次曲线方程.

  • (1,-1)'A(1,-1)=0\Rightarrow x^2+2xy+y^2=0, 又有\left\{\begin{matrix}4+2b_{1}+2b_2+c=0\\9+4b_1+2b_2+c=0\\9-2b_1-4b_2+c=0\end{matrix}\right.\Rightarrow(b_1,b_2,c)=(-\frac{5}{2},\frac{5}{2},-4). 因此二次曲线方程为x^2+2xy+y^2-5x+5y-4=0.

6. 求曲线x^2+xy+y^2+x+4y+3=0经过点(−2,−1)的切线方程.

  • L:\vec x=x_0+t\vec v,x_0=(-2,-1), 因为L为曲线切线且|A|>0, 因此\Delta=\vec v'[(Ax_0+b)(Ax_0+b)'-F(x_0)A]\vec v=0\Rightarrow \vec v=\lambda(1,0),\lambda(1,-1). 所以切线方程为L_1:\vec x=t(1,0)+(-2,-1),L_2:\vec x=t(1,-1)+(-2,-1),t\in\R.

7. 求曲线x^2+4xy+3y^2−5x−6y+3=0平行于x+4y=0的切线方程及切点坐标.

  • L:\vec x=x_0+t\vec v,\vec v=(-4,1), 注意到\vec v'A\vec v=3\neq0, 假设x_0\in \Gamma, 因此有\Delta=\vec v'[(Ax_0+b)(Ax_0+b)']\vec v=0\Rightarrow Ax_0+b\perp v\Rightarrow x_0=(1,1),(-4,3). 所以切线方程为L_1:\vec x=t(-4,1)+(1,1),L_2:\vec x=t(-4,1)+(-4,3),t\in\R, 切点为(1,1), (-4,3).

8. 已知曲线3x^2+7xy+5y^2+4x+5y+1=0的平行于x+y+1=0的弦的中点轨迹.

  • 令\vec v=(1,-1), 考虑(A\vec v)'\vec x=-b'\vec v\Rightarrow x+3y+1=0. 因此中点轨迹为x+3y+1=0.

9. 求曲线x^2+2y^2−4x−2y−6=0的过点(8,0)的直径方程, 并求其共轭直径.

  • 考虑(A\vec v)'\vec x=-b'\vec v, 代入\vec x=x_0+t\vec k,x_0=(8, 0), 有(A\vec v)'\vec k=0,(A\vec v)'x_0=-b'\vec v, 即\vec v=\lambda(1,6),\vec k=\lambda(-12,1). 因此直径方程为\vec x=(8,0)+t(-12,1),t\in\R. 将(-12,1)代入(A\vec k)'\vec x=-b'\vec k, 解得共轭直径为-12x+2y+23=0.

10. 求曲线3x^2−2xy+3y^2+4x+4y−4=0与2x^2−3xy−y^2+3x+2y=0的公共直径.

  • 考虑(A_1\vec v_1)'\vec x=-b_1'\vec v_1与(A_2\vec v_2)'\vec x=-b_2'\vec v_2共解, 因此b_2'\vec v_2\cdot A_1\vec v_1=b'_1\vec v_1\cdot A_2\vec v_2\Rightarrow v_1=\lambda(-5,1),v_2=\lambda(-7,2), 代入方程得公共直径为-2x+y=1.

11. 求下列曲线的主直径与主方向,并化简曲线

(1) 4x^2−4xy+y^2+6x−8y+3=0.

  • A=\begin{bmatrix}4&-2\\-2&1\end{bmatrix}\Rightarrow v_0=(1,2),v_5=(-2,1). 将v_5代入(A\vec v)'\vec x=-b'\vec v解得-2x+y=2. 因此主直径为-2x+y=2, 主方向为(1,2),(-2,1), 曲线可化简为\lambda x^2\pm2\sqrt{-\frac{I_3}{I_1}}y=5x^2+2\sqrt5y=0.

(2) x^2+6xy+y^2+6x+2y−1=0.

  • A=\begin{bmatrix}1&3\\3&1\end{bmatrix}\Rightarrow v_{-2}=(1,-1),v_4=(1,1). 将v_{-2},v_4代入(A\vec v)'\vec x=-b'\vec v解得x-y=1,x+y=-1. 因此主直径为x-y=1,x+y=-1, 主方向为(1,-1),(1,1), 曲线可化简为\lambda_1x^2+\lambda_2 y^2+\frac{I_3}{I_2}=-2x^2+4y^2-2=0.

(3) x^2−2xy+2y^2−4x−6y+29=0.

  • 注意到方程等价于(x-y-2)^2+(y-5)^2=0, 因此曲线退化为单点(7,5). 故不存在主直径, 主方向, 无需化简.

12. 根据实数\lambda的不同值, 判断曲线\lambda x^2−2xy+\lambda y^2−2x+2y+5=0是什么曲线.

  • 考虑:
    1. I_2=|A|=\lambda^2-1>0\Rightarrow\lambda\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), 椭圆型
    1.1. I_1I_3=2\lambda(5\lambda^2-2\lambda-3)>0\Rightarrow\lambda\in(1,+\infty), 虚椭圆
    1.2. I_1I_3<0\Rightarrow\lambda\in(-\infty,-1), 椭圆
    2. I_2<0\Rightarrow\lambda\in(-1,1), 双曲型
    2.1. I_3\neq0\Rightarrow\lambda\neq-\frac{3}{5}, 双曲线
    2.2. I_3=0\Rightarrow\lambda=-\frac{3}{5}, 相交直线
    3. I_2=0\Rightarrow\lambda=\pm1, 抛物型
    3.1. I_3\neq0\Rightarrow \lambda=-1, 抛物线
    3.2. I_3=0\Rightarrow \lambda=1, 平行虚直线
    整理可知\lambda\in(-\infty,-1)时为椭圆, \lambda=-1时为抛物线, \lambda\in(-1,-\frac{3}{5})\cup(-\frac{3}{5},1)时为双曲线, \lambda=-\frac{3}{5}时为相交直线, \lambda=1时为平行虚直线, \lambda\in(1,+\infty)时为虚椭圆.

13. 设曲线a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2 +2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0表示两条平行直线. 证明两条平行直线间的距离是d=2\sqrt{-\frac{K_1}{I^2_1}}.

  • 因为是平行直线, 所以可化简为\lambda_1x^2+\frac{K_1}{I_1}=0. 因为化简前后距离不变, 所以d=2\sqrt{-\frac{K_1}{I_1\lambda_1}}. 代入\lambda_1=I_1, d=2\sqrt{-\frac{K_1}{I_1^2}}.

14. 给定方程a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0. 证明这个曲线表示一个实圆当且仅当I_1^2=4I_2, 且I_1I_3<0.

  • 若曲线可表示成实圆, 则曲线是有心椭圆, 必有I_2>0,I_1I_3<0. 将曲线方程化简为\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{I_3}{I_2}=0, 因为是圆所以有\lambda_1=\lambda_2=\lambda. 故I_1=\lambda_1+\lambda_2=2\lambda,I_2=\lambda_1\lambda_2=\lambda^2, 即I_1^2=4\lambda^2=4I_2.
    若有I_1^2=4I_2,I_1I_3<0, 注意到I_2>0, 因此曲线为椭圆, 可化简为\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{I_3}{I_2}=0. 因为I_1^2=4I_2\Rightarrow(\lambda_1+\lambda_2)^2=4\lambda_1\lambda_2\Rightarrow(\lambda_1-\;\lambda_2)^2=0, 所以\lambda_1=\lambda_2, 曲线为实圆.