1. 证明\vec r(t)具有固定方向 \Leftrightarrow \vec r\times\vec r'=\vec 0.
- \vec r(t)具有固定方向 \Rightarrow \frac{r(t)}{|r(t)|}=\vec n_0 \Rightarrow r'(t)=(|r|\cdot\frac{r}{|r|})'=(|r|\cdot\vec n_0)'=|r|'\cdot\vec n_0 \Rightarrow \vec r\times \vec r'=|r||r|'\cdot(\vec n_0\times\vec n_0)=\vec 0 \Rightarrow \vec r\times\vec r'=\vec 0 \Rightarrow |\vec r\times\vec r'|=|(|\vec r|\cdot\frac{\vec r}{|\vec r|})\times(|\vec r|'\cdot\frac{\vec r}{|\vec r|}+|\vec r|\cdot(\frac{\vec r}{|\vec r|})')|=|\vec r|^2|\frac{\vec r}{|\vec r|}\times(\frac{\vec r}{|\vec r|})'|=|\vec r|^2|(\frac{\vec r}{|\vec r|})'|=\vec 0 \Rightarrow |(\frac{\vec r}{|\vec r|})'|=0 \Rightarrow (\frac{\vec r}{|\vec r|})'=0 \Rightarrow \frac{\vec r}{|\vec r|}=\int(\frac{\vec r}{|\vec r|})'\mathrm dt=\vec n_0 \Rightarrow \vec r(t)具有固定方向. Q.E.D.
2. 证明\vec r(t)平行于固定平面\Leftrightarrow (\vec r,\vec r',\vec r'')=0.
- \vec r(t)平行于固定平面 \Rightarrow \exist \vec n_0\neq\vec0,\vec r\cdot \vec n_0=0 \Rightarrow (\vec r\cdot\vec n_0)'=\vec r'\cdot \vec n_0=0,(\vec r\cdot\vec n_0)''=\vec r''\cdot \vec n_0=0 \Rightarrow (\vec r,\vec r',\vec r'')=(\vec r\times\vec r')\cdot\vec r''=k\vec n_0\cdot\vec r''=0 \Rightarrow (\vec r,\vec r',\vec r'')=0 \Rightarrow (\vec r\times\vec r'=0\Rightarrow\exist \vec n_1\in\R^3,\vec r=|\vec r|\vec n_1\Rightarrow \vec r(t)平行于固定平面) 或 (\vec r\times\vec r'\neq0,\vec r''=a\vec r+b\vec r'\Rightarrow(\vec r\times\vec r')'=\vec r\times\vec r''=b(\vec r\times\vec r')\Rightarrow(\vec r\times\vec r')\times(\vec r\times\vec r')'=\vec 0\Rightarrow\exist\vec n_1\in\R^3,\frac{\vec r\times\vec r'}{|\vec r\times\vec r'|}=\vec n_1\Rightarrow\vec r\cdot\vec n_1=0\Rightarrow\vec r(t)平行于固定平面). Q.E.D.
3. 对于圆柱螺线x=\cos t,y=\sin t,z=t, 求它在点(1,0,0)处的切线和法平面方程.
- \vec r'=(-\sin t,\cos t,1), \vec r(0)=(1,0,0),\vec r'(0)=(0,1,1), 所以切线为\vec l=t\vec r'(0)+\vec r(0)=(1,t,t),t\in\R, 法平面方程为(\vec x-\vec r(0))\cdot \vec r'(0)=0\Rightarrow(x-1,y,z)\cdot(0,1,1)=0\Rightarrow y+z=0.
4. 求抛物线y=bx^2(b>0)对应于-a\leq x\leq a的弧长.
- s=\int_{-a}^a\sqrt{1+(y')^2}\mathrm dx=\int_{-a}^a\sqrt{1+4b^2x^2}\mathrm dx=a\sqrt{4a^2b^2+1}+\frac{\sinh^{-1}(2ab)}{2b}.
5. 将圆柱螺线\vec r=(a\cos t,a\sin t,bt), 其中a>0,b\in\R化成自然参数(弧长参数)表示.
- s=\int|\vec r'|\mathrm dt=\int\sqrt{a^2+b^2}\mathrm dt=\sqrt{a^2+b^2}t. 所以\vec r(s)=(a\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},a\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}).
6. 求曲线\vec r(t)=(t\sin t,t\cos t,te^t)在原点处的法平面, 从切平面, 密切平面, 切线, 主法线, 副法线方程.
- \vec r_t=(\sin t+t\cos t,\cos t-t\sin t,e^t+te^t),\vec r_{tt}=(2\cos t-t\sin t,-2\sin t-t\cos t,2e^t+te^t),|\vec r_t|_t=\frac{\vec r_t\cdot\vec r_{tt}}{|\vec r_t|},s=\int|\vec r_t|\mathrm dt,t_s=\frac{1}{s_t}=\frac{1}{|\vec r_t|},t_{ss}=-\frac{|\vec r_t|_s}{|\vec r_t|^2}=-\frac{|\vec r_t|_t}{|\vec r_t|^3}=-\frac{\vec r_t\cdot\vec r_{tt}}{|\vec r_t|^4},\vec r_s=t_s\vec r_t,\vec r_{ss}=t_{ss}\vec r_t+t_s^2\vec r_{tt}. 带入原点, 即t=0, (\vec r(0)=\vec 0)得\vec r_t(0)=(0,1,1),\vec r_{tt}(0)=(2,0,2),|\vec r_t|(0)=\sqrt2,|\vec r_t|_t(0)=\sqrt2,t_s(0)=\frac{1}{\sqrt2},t_{ss}(0)=-\frac{1}{2},\vec r_{s}(0)=\frac{1}{\sqrt2}(0,1,1),\vec r_{ss}(0)=-\frac{1}{2}(0,1,1)+\frac{1}{2}(2,0,2)=(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),\vec n_0=\frac{\vec r_{s}\times \vec r_{ss}}{|\vec r_{s}\times \vec r_{ss}|}(0)=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1). 所以法平面方程为\vec x\cdot \vec r_s(0)=0\Rightarrow y+z=0, 从切平面方程为\vec x\cdot\vec r_{ss}(0)=0\Rightarrow 2x-y+z=0, 密切平面方程为\vec x\cdot\vec n_0=0\Rightarrow x+y-z=0, 切线为\vec l=t\vec r_s(0)=(0,t,t),t\in\R, 主法线为\vec l=t\vec r_{ss}(0)=(2t,-t,t),t\in\R, 副法线为\vec l=t(\vec r_s\times \vec r_{ss})(0)=(t,t,-t),t\in\R.
7. 求曲线\vec r(t)=(\cos^3t,\sin^3t,\cos 2t), 求:
(1) 基本向量\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma;
- 首先有\vec r_t=(-3\cos^2t\sin t,3\sin^2t\cos t,-2\sin2t),\vec r_{tt}=(6\cos t-9\cos^3t,6\sin t-9\sin^3 t,-4\cos 2t),\operatorname{OutProj}_{\vec r_t}\vec r_{tt}:=\vec r_{tt}-\frac{\vec r_t\cdot\vec r_{tt}}{|\vec r_t|^2}\vec r_t=(3\cos t\sin^2t,3\sin t\cos^2t,0), 因此\vec\alpha=\frac{\vec r_t}{|\vec r_t|}=\frac{\operatorname{sgn}(\sin 2t)}{5}(-3\cos t,3\sin t,-4),\vec\beta=\frac{\operatorname{OutProj}_{\vec r_t}\vec r_{tt}}{|\operatorname{OutProj}_{\vec r_t}\vec r_{tt}|}=\operatorname{sgn}(\sin 2t)(\sin t,\cos t,0),\vec \gamma=\frac{\vec\alpha\times\vec\beta}{|\vec\alpha\times\vec\beta|}=\frac{1}{5}(4\cos t,-4\sin t,-3).
(2) 曲率和挠率;
- \kappa=|\vec \alpha_s|=\frac{|\vec \alpha_t|}{|\vec r_t|}=\frac{\frac{3}{5}}{5|\cos t\sin t|}=\frac{6}{25|\sin 2t|}, \tau=-\frac{\vec \gamma_s}{\vec \beta}=-\frac{\vec\gamma_t}{|\vec r_t|\vec \beta}=-\frac{\frac{1}{5}(-4\sin t,-4\cos t,0)}{5|\cos t\sin t|\operatorname{sgn}(\sin 2t)(\sin t,\cos t,0)}=\frac{8}{25\sin 2t}.
(3) 验证Frenet公式.
- \vec\alpha_s=\frac{\vec\alpha_t}{|\vec r_t|}=\frac{2\frac{\operatorname{sgn}(\sin 2t)}{5}}{5|\sin 2t|}(3\sin t,3\cos t,0)=\frac{6}{25|\sin 2t|}\operatorname{sgn}(\sin2t)(\sin t,\cos t,0)=\kappa\vec\beta;\vec\beta_s=\frac{\vec\beta_t}{|\vec r_t|}=\frac{2\operatorname{sgn}(\sin2t)}{5|\sin 2t|}(\cos t,-\sin t,0)=-\frac{6}{25|\sin 2t|}\frac{\operatorname{sgn}(\sin 2t)}{5}(-3\cos t,3\sin t,-4)+\frac{8}{25\sin2t}\frac{1}{5}(4\cos t,-4\sin t,-3)=-\kappa\vec\alpha+\tau\vec\gamma;\vec\gamma_s=\frac{\vec\gamma_t}{|\vec r_t|}=\frac{2\frac{1}{5}}{5|\sin 2t|}(-4\sin t,-4\cos t,0)=-\frac{8}{25\sin 2t}\operatorname{sgn}(\sin2t)(\sin t,\cos t,0)=-\tau\vec\beta. Q.E.D.
8. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点, 则此曲线是平面曲线.
- 考虑曲线\vec r(t)的密切平面方程(\vec x-\vec r)\cdot(\vec r_t\times\vec r_{tt})=0, 所有密切平面过定点表明\exist O\in\R^3\forall t\in\R,(O-\vec r)\cdot(\vec r_t\times\vec r_{tt})=0. 令\vec R=\vec r-O为一向量函数, 注意到\vec R_t=\vec r_t,\vec R_{tt}=\vec r_{tt}, 因此方程转化为\vec R\cdot(\vec R_t\times\vec R_{tt})=(\vec R,\vec R_t,\vec R_{tt})=0, 则由2.得\vec R平行于固定平面. 因此\exist \vec n_0\neq\vec0,\vec R\cdot \vec n_0=0, 即(\vec r-O)\cdot\vec n_0=0, 表明曲线上所有点在一过O点且以\vec n_0为法向量的平面上. Q.E.D.
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