Differential Geometry Assignment NO.2

1. 证明曲面 $\vec r=(u,v,\frac{a^3}{uv})$ 的切平面和三个坐标面所构成的四面体的体积是常数.

考虑 $\vec r_0=(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程 $z_x(x_0,y_0)(x-x_0)+z_y(x_0,y_0)(y-y_0)=z-z_0$ , 则切平面与三个坐标轴的交点为 $\vec x_1=(x_0+\frac{-z_0+y_0z_y(x_0,y_0)}{z_x(x_0,y_0)},0,0),\vec x_2=(0,y_0+\frac{-z_0+x_0z_x(x_0,y_0)}{z_y(x_0,y_0)},0),\vec x_3=(0,0,z_0-z_x(x_0,y_0)x_0-z_y(x_0,y_0)y_0)$ , 四面体体积为 $|\frac{1}{6}(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)|$ , 而 $|(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)|=|(x_0+\frac{-\frac{a^3}{x_0y_0}-y_0\frac{a^3}{x_0y_0^2}}{-\frac{a^3}{x_0^2y_0}})\cdot(y_0+\frac{-\frac{a^3}{x_0y_0}-x_0\frac{a^3}{x_0^2y_0}}{-\frac{a^3}{x_0y_0^2}})\cdot(\frac{a^3}{x_0y_0}-\frac{a^3}{x_0y_0}-\frac{a^3}{x_0y_0})|=|3x_0\cdot3y_0\cdot\frac{a^3}{x_0y_0}|=9|a^3|$ , 因此切平面和三个坐标面所构成的四面体的体积是常数.

有 $\mathrm ds^2=(1+\sinh^2u)\mathrm du^2$ , 即 $\mathrm ds=\pm\sqrt{1+\sinh^2u}\mathrm du\Rightarrow s=\pm\int{\sqrt{1+\sinh^2u}}\mathrm du+s_0\Rightarrow s=\pm\sinh u+s_0$ . 因此曲面的弧长参数可表示为 $s=\pm\sinh u+s_0$ .

两曲线 $\vec\gamma_1,\vec\gamma_2$ 交点为 $u=0,v=0$ , 考虑 $\mathrm d\vec r=\vec r_{u}\mathrm du+\vec r_v\mathrm dv,\mathrm d\vec\gamma_1=(\vec r_u-\vec r_v)\mathrm du,\mathrm d\vec\gamma_2=(\vec r_u+\vec r_v)\mathrm du$ , 因此 $\cos\theta=\frac{\mathrm d\vec\gamma_1\cdot\mathrm d\vec\gamma_2}{|\mathrm d\vec\gamma_1||\mathrm d\vec\gamma_2|}=\frac{(\vec r_u-\vec r_v)\cdot(\vec r_u+\vec r_v)}{|\vec r_u-\vec r_v||\vec r_u+\vec r_v|}=\frac{\vec r_u^2-\vec r_v^2}{\sqrt{\vec r_u^2-2\vec r_u\vec r_v+\vec r_v^2}\sqrt{\vec r_u^2+2\vec r_u\vec r_v+\vec r_v^2}}$ , 由第一基本形式可知在交点处 $\vec r_u^2=1,\vec r_u\vec r_v=0,\vec r_v^2=a^2$ , 因此 $\cos\theta=\frac{1-a^2}{1+a^2}\Rightarrow\theta=\arccos\frac{1-a^2}{1+a^2}$ .

由第一基本形式有 $\vec r_u^2=1,\vec r_u\vec r_v=0,\vec r_v^2=u^2+a^2$ , 因此 $\iint_D\mathrm d\sigma=\iint_{D'}|\vec r_u\times\vec r_v|\mathrm du\mathrm dv=\iint_{D'}\sqrt{\vec r_u^2\vec r_v^2-(\vec r_u\vec r_v)^2}\mathrm du\mathrm dv=\iint_{D'}\sqrt{u^2+a^2}\mathrm du\mathrm dv=\int_0^1\mathrm dv\int_{-av}^{av}\sqrt{u^2+a^2}\mathrm du=[\frac{2}{3}-\frac{\sqrt2}{3}+\ln(\sqrt2+1)]a^2$ .